U ovom tekstu upoznacemo se sa razvojem matematicke logike od Hilberta do Gedela. Ona nas vraca u proslost pre Hilberta da bismo razumeli uzroke koji su izazvali potrebu za formalizacijom logike i vodi nas u period pojave prve Gedelove teoreme o nepotpunosti, kako bismo razumeli posledice.
Uvodni deo rada nas upoznaje sa osnovnim zeljama iz tog perioda. Drugo poglavlje objasnjava koji su uzroci velike matematicke krize tog vremena(Kantor, Russell). Trece poglavlje je prica o velikom matematicaru Davidu Hilbertu, njegovom delu i ponudjenom resenju problema. Cetvrto poglavlje predstavlja ukratko neke od velikih logicara tog vremena (Zermelo,Lovenheim, Skolem, Herbrant). Peto poglavlje je posveceno Kurtu Gedelu i njegovim rezultatima.
Period koji obuhvata kraj devetnaestog i pocetak dvadesetog veka predstavlja jednu od prekretnica u razvoju matematike. Tada sazreva ideja o sistematizaciji dotadasnjih matematickih znanja. Osnovna ideja bila je stvaranje formalnog sistema, u kome bi bilo moguce izraziti sve matematicke teoreme. Takodje radilo se i na preciznom definisanju jezika koji bi u potpunosti podrazavao matematicko rasudjivanje. Izgledalo je sasvim prirodno da se ovako nesto moze
postici. Matematicari poput Fregea i Peana sa puno entuzijazma, pristupaju resavanju postavljenih zadataka. Medjutim, pocetkom dvadesetog veka, pojavljujuse paradoksi, koji ce do temelja uzdrmati citav matematicki svet. Neki su smatrali da to predstavlja kraj matematike. Pokusavajuci da rese probleme koji su nastali, nastaju razliciti formalni sistemi, ali dolazi i do stvaranja razlicitih pravaca u matematickoj logici, poput intuicionizma. Nastaje moderna
matematicka logika koja ce svoj najveci uspeh i znacaj doziveti u drugoj polovini dvadesetog veka, sa razvojem racunarske tehnologije.
Iako naizgled staticna, postojana i savrsena, matematika je dozivljavala svoje krize i revolucije. U XX veku bilo je mnogo konceptualnih revolucija i ovo doba je obelezeno velikim diskusijama u pogledu utemeljenja matematike, u pogledu prirode same matematike i valjanih dokaza,
Ovaj esej je prica o tome kako i zasto je nastalo polje metamatematike I koja su njena dostignuca i padovi. To je iznenadjujuce dramaticna prica. Metamatematiku je unapredio najvecim delom Hilbert, kao nacin da pokaze moc matematike, kao nacin da usavrsi aksiomatski metod, kao nacin da potpuno eliminise sve matematicke nedoumice. Ali ovakav cilj, na iznenadjenje svih, se ispostavio nedostiznim. To je, na drugoj strani, vodilo fantasticnim otkricima Gedela, Tjuringa i drugih. To je ogranicilo moc matematickog rasudjivanja i moc aksiomatske metode. Metematematika je u odredjenom smislu bila fijasko, posluzila je samo da produbi krizu koju je pokusala da resi. No, ovo samoispitivanje matematike ipak je imalo fantasticne i potpuno neocekivane posledice u oblasti koja je bila daleko od postavljenih ciljeva. Odigralo je veliku ulogu u razvoju najznacajnije tehnologije danasnjice i racunarstva.

2 Kriza matematike na pocetku XX veka

2.1 Kantorova teorija skupova

Kantora ukljucujemo u ovaj istorijski pregled ne zbog njegovog direktnog doprinosa logici i formalizaciji matematike, vec pre svega zbog toga sto je bio pokretac u izucavanju beskonacnih skupova i brojeva. Kantorova teorija o beskonacnim skupovima predstavljala je fascinantan materijal i pocetak velikih problema za logicare . Reakcije Kantorovih savremenika su bile snazne. ,,Niko nas nece izbaciti iz raja koji je Kantor za nas stvorio, govorio je Hilbert .
Mnogi su se divili Kantorovoj apstrakciji, ali da li je to matematika i da li objekti o kojima se govori zaista postoje? Ispostavilo se da iz teorije skupova mogu da se izvedu zakljuci koji su ocigledno netacni. Poceli su da se pojavljuju paradoksi. Najpoznatije paradokse otkrio je engleski filosof Bertrand Russell .
Te paradokse Gedel je kasnije opisao recima ,,neverovatna je cinjenica da je nasa logicka intuicija sama sebi protivurecna”.

2.2 Bertrand Russell i paradoksi

Russell je pokusavao da dublje razume Kantorovu teoriju skupova. Kantor je pokazao da je skup svih podskupova datog skupa uvek veci od samog skupa. Ali ono sto se Russell zapitao,bilo je, sta je sa skupom svih podskupova ,univerzalnog skupa koji sadrzi sve? Skup svih podskupova univerzalnog skupa ne moze biti veci od univerzalnog, iz prostog razloga sto univerzalni skup vec sve sadrzi! Russell je analizirao Kantorov dokaz primenjujuci ga na univerzalni skup.
Otkrio je da je u ovom specijalnom slucaju kljucni korak u Kantorovom dokazu stavka- skup svih skupova koji nisu elementi sebe samih. Kljucni korak je postaviti pitanje: ,,Da li je ovaj skup element sebe samog ili ne? Problem je u tome sto ni jedan odgovor nece biti ispravan, jer moze da se pokaze da je on element sebe samog ako i samo ako on nije element sebe samog.To je slicno paradoksu o berberinu koji brije sve muskarce u selu ali ne brije sebe. Pa ko onda brije berberina? Naravno, iz ovog problema mozemo se lako izvuci. Ili mozemo poricati postojanje takvog berberina, jer ne moze da primeni svojstvo na sebe ili je berberin zensko. Ali sta nije u redu sa Russsellovim paradoksom? Russellov paradoks je slican jednom starijem paradoksu poznatom kao paradoks lazova (,,Ova izjava je laz"). U oba slucaja paradoks nastaje zbog samoukazivanja, a upravo samoukazivanje ce igrati veliku ulogu u delima Gedela i Tjuringa.

2.3 Reakcije na paradokse i ponudjena resenja

Jedna od reakcija na paradokse bila je povratak starom sigurnom metodu rasudjivanja. Nemacki matematicar L. E. J. Brouwer sugerisao je napustanje cele ne-konstruktivne Matematike. On je potencirao konkretnu, konstruktivnu, a manje ,,teorijsku matematiku. Na primer, ponekada metematicari dokazuju da nesto postoji tako sto pokazu da pretpostavka da to ne postoji vodi u kontradikciju. Ovaj pristup nazivamo svodjenje na apsurd (reductio ad absurdum).Besmisleno, komentarisao je Brouwer. Za Browera i konstruktiviste,jedini nacin da dokazemo da nesto postoji jeste da smislimo metod za njegovo izracunavanje, konstruisanje. Kod nekih drugih matematicara, paradoksi su izazivali nepoverenje u argumente izrazene recima obicnog, prirodnog jezika i to ih je odvelo u formalizam.
Paradoksi su izazvali razvoj simbolicke logike koja koristi formalni jezik umesto prirodnog jezika u matematici. Italijanski logicar G. Peano je otisao dosta daleko u tom pravcu, a Russell i A. N. Whitehead u pokusaju da slede Peanovu ideju,ispisali su veliki deo knjige Principa Mathematica dokazujuci da je 1+1 jednako 2. To je bio velicanstven pokusaj, ali vecina matematicara ga je smatrala neuspesnim iz mnogo razloga. U tom trenutku Hilbert stupa na scenu, sa dramaticnim predlogom za ,,konacno resenje krize matematike. Sta je bio Hilbertov predlog? Kako je on mogao da zadovolji sve?

3 Hilbertova epoha

3.1 Poceci Hilbertovog rada na utemeljivanju matematike

Pocetak Hilbertovog rada na utemeljivanju matematike smatra se njegovo izucavanje geometrije davne 1890. godine, sto je kulminiralo njegovom knjigom ,,Osnove geometrije” iz 1899 godine . Hilbert je verovao da ispravan nacin da se razvije bilo koja naucna tema zahteva strog aksiomatski pristup. Imajuci u vidu aksiomatizaciju, teorija bi trebalo da se razvija nezavisno od bilo koje intuicije i da se time olaksa analiza logickih veza izmedju osnovnih pojmova i aksioma.
Bitan stav kod aksiomatizacije je razmatranje nezavisnosti i, pre svega, konzistentnosti aksioma. Za aksiome u geometriji, konzistentnost se moze svesti uz pomoc interpretacije sistema u realnoj ravni, i time konzistentnost aksioma u geometriji zavisi od konzistentnosti u analizi. Hilbert je izvrsio aksiomatizaciju analize 1900. godine, ali je ubrzo uvideo velike i znacajne poteskoce u
tome. Shvatio je da je potreban direktan dokaz konzistentnosti aritmetike koji se ne oslanja na svojstva neke druge teorije. Predlozio je pronalazenje takvog dokaza kao drugi problem na njegovom spisku od 23 najznacajnijih otvorenih matematickih problema na pocetku XX veka. Nekoliko faktora je uticalo na odlaganje razvoja Hilbertovog programa.
Naime, uvideo je da istrazivanje aksiomatizacije zahteva dobro osmisljen logicki formalizam. Izdavanje dela “Principia Mathematica” Russella i Whiteheada obezbedilo je logicku osnovu za nov napad na osnovna matematicka pitanja. Godine 1917. Hilbert je izdao knjigu ,,Axiomatic Thought”u kojoj ponovo istice potrebu za doslednim dokazima za svojstva aksiomatskog sistema. Primetio je da ne postoji nista fundamentalno pristupacnije u odnosu na sta konzistentnost treba da bude ogranicena od same logike. Tad se ponadao da su problem sustinski resili Russell i Whitehead, ali mnogi osnovni problemi aksiomatike nisu bili reseni I to je uticalo da naredne godine provede baveci se logikom.
Predavanja iz 1917 godine sadrze razvoj logike prvog reda i materijal knjige ,,Principles of Theoretical Logic” Hilberta i Ackermmanna iz 1928 godine.

3.2 Hilbertov program

Narednih godina, Hilbert je odbacio Russellovo logicko resenje problema konzistentnosti
u aritmetici. Odgovarajuci na izazove i kritike od strane intuicionista, Hilbert je dao sledeci predlog. Taj predlog objedinjavao je njegove ideje od 1904 godine koje se ticu direktnog dokaza konzistentnosti aritmetike, njegove koncepcije aksiomatskog sistema, tehnicki razvoj u aksiomatizaciji matematike u radu Russella, kao i daljem razvoju od strane ostalih kolega.
Ono sto je bilo novo je Hilbertova zelja da projektu o konzistentnosti da filosofski znacaj kako bi odgovorio na kritike Weyla i Brouwera. Prema Hilbertu, postoji povlasceni deo matematike, teorija brojeva, koja pociva na ,,cisto intuitivnoj osnovi stvarnih simbola”. Buduci da se rad sa apstraktnim pojmovima smatrao neodgovarajucim, postoji podrucje posebnih objekata vise logike. Ti objekti su simboli.
Teorija brojeva sadrzi konacne brojeve,koji nemaju znacenje ali se nad njima mogu vrsiti operacije konkatanacije I komparacije. Znanje njihovih osobina i relacija je intuitivno i bez posredovanjalogike. Teorija brojeva razvijena na ovaj nacin je sigurna da ,,nikakva kontradikcija ne moze da se pojavi jer ne postoji logicka struktura u teoremama teorije brojeva. Operacije sa simbolima cine osnovu Hilbertove metamatematike. Metamatematicari rade sa nizom simbola (formule, dokaz) koji se mogu sintaksno urediti.
Hilbert je imao dva polazna principa.
Prvi, aksiomatski metod i matematicki formalizam. Hteo je da eliminise iz matematike sve nedoumice i dvosmislenosti koje izaziva prirodan jezik. Predlozio je da se napravi vestacki jezik za matematiku u kome ce pravila biti tako precizna, tako kompletna da nece biti nedoumica da li je neki dokaz ispravan ili nije. Zapravo, smatrao je da bi trebalo da moze da se mehanicki proveri da li dokaz postuje pravila izvodjenja, jer ta pravila su cisto sintaksne prirode i ne zavise od semantike ili znacenja matematickog tvrdjenja. Drugim recima, ono sto Hilbert nije mogao da kaze tada a to je da bi trebaloi da postoji algoritam za proveru dokaza, kompjuterski program za proveru da li je dokaz dobar ili ne. To je bio prvi korak- da se slozimo oko aksioma i pravila izvodjenja za celu matematiku.
Sta je bio drugi Hilbertov princip? Uzeo je u obzir nesigurno, nekonstruktivno rezonovanje (kao sto je kontrapozicija) u svoj formalni aksiomatski metod za celu matematiku. Ali, koristeci intuitivno, sigurno konstruktivno rezonovanje izvan formalnog sistema, on je mogao da dokaze Brouweru da bez obzira na ustupak koji je dozvolio, formalni sistem ne vodi u probleme. Zeleo je
da pokaze neistomisljenicima koristeci njihove metode rasudjivanja da njegove metode rasudjivanja ne vode u propast.
Hilbertov plan je bio veoma ambiciozan. On je pratio formalni aksiomatski trend u matematici i koristio prednost simbolicke logike, na ogranicenju matematickog rasudjivanja na izracunljivost. Kad se neki deo matematike formalizuje to postaje pogodan teren za metamatematicko istrazivanje.

4 Znameniti logicari Hilbetove epohe

4.1 Ernst Zermelo

Na Internacionalnom Kongresu Matematike 1900. godine Hilbert je istakao da je jedan od velikih problema da li se svaki skup moze dobro urediti. Kantor je predpostavio da je ovo moguce i dao nekoliko pogresnih dokaza. Tada je Zermelo 1904. godine dokazao, koristeci aksiomu izbora, da se svaki skup moze dobro urediti. Dokaz je propracen sumnjom. Godine 1908. Zermelo je ponudio drugi dokaz i dalje koristeci aksiomu izbora, ali ubrzo je primeceno da je ona u stvari ekvivalentna jednoj drugoj aksiomi iz teorije skupova | principu dobrog uredjenja. Kasnije su ustanovljena i druga ekvivalentna tvrdjenja, ukljucujuci Zornovu lemu i linearno uredjenje skupa.
Zermelova teorija skupova sastojala se od sedam aksioma, koje su naravno, imale nedostatke . Te nedostatke istakao je Skolem, koji je bio misljenja da je Zermelov pristup teoriji skupova skrenuo s puta prirodnog i intuicionistickog razmisljanja u pravcu stvaranja vestacke konstrukcije. John von Neumann je uvideo neke pogodnosti u ovoj teoriji sto je kasnije vodilo uvodjenju aksiome regularnosti. Teorija ZFC (Zermelo-Fraenkel teorija skupova sa aksiomom izbora) trazi beskonacan broj aksioma prvog reda. John von Neumann je 1925. godine razvio teoriju skupova sa konacnim brojem aksioma. Zapravo, on je koristio funkcije a ne skupove. Njom se bavio Bernays, kao i Gedel i sad je poznata pod nazivom NBG (von Neumann-Bernays-Godel) teorija skupova.

4.2 Lowenheim

Lowenheimovo8 delo iz 1915. godine otvorilo je vrata ozbiljnim studijama teorije modela, uvodeci velicinu beskonacnog modela recenica prvog reda [3, 6]. Pruzio je kanonsku proceduru za pravljenje izracunljivog kontramodela za recenicu prvog reda. Dokazao je da tvrdjenje u predikatskom racunu prvog reda (sa jednakoscu) za monadicni(sa jednim argumentom) predikat koje je valjano u konacnom domenu, mora da bude valjano u svakom domenu. Istakao je da relaciona logika prvog reda sa jednakoscu adekvatno moze da opise sve matematicke probleme i da je dovoljna binarna relacija za to. Sa njegovim radom bio je upoznat i Skolem, sto je rezultiralo teoremom 1920. godine poznatom kao Lowenheim-Skolemova teorema .
Teorema 1 Ako je formula prvog reda zadovoljiva, onda za nju postoji model sa prebrojivim domenom.

4.3 Thoralf Skolem

Skolem delu iz 1919. godine daje analizu zavisnosti/nezavisnosti raznih aksioma u racunu klasa, koristeci jednostavne strukture koje se lako mogu skicirati. Skolem je pokazao da dodajuci predikat ,,ima najmanje n elemenata” u jeziku racuna mogu da se eliminisu kvantifikatori. On je prvi koji je formulisao nacin kako se dobija formula bez kvantifikatora koja je ekvivalentna polaznoj. Pokazao je da se jednostavno moze vrsiti prebacivanje iz racuna za klase prvog reda u monadicnu predikatsku logiku prvog reda. Skolem u delu iz 1920. godine definise tzv. Skolemovu normalnu formu koja se bazira na uslovu slabe ekvivalencije. Dokazao je Lovenheimovu teoremu bez koriscenja aksiome izbora. U delu iz 1928. godine, objasnio je ceo proces elimimacije
egzistencijalnog kvantifikatora funkcijskim simbolom ili konstantom sto je danas poznato kao skolemizacija. Pokazao je kako se mogu napraviti elementi potencionalnog kontramodela koristeci Skolemove funkcije i to ce postati poznato kao Herbranov univerzum.

4.4 Jacques Herbrand

Herbrand je govorio da je njegov cilj da rad Lowenheima i Skolema ucini snaznijim, strozijim. On je uneo u dokazni sistem notaciju ,,izvodljivo”,opisao kontramodel proceduru na uvedenom jeziku i pokazao je da je tvrdjenje prvog reda izvodljivo ako pokusaj da napravimo kontramodel njegove negacije propadne u konacnom broju koraka. Herbrand je dokazao verziju Lowenheim- Skolemove teoreme ali bez pominjanja beskonacnih modela.

5 Gedelova dostignuca

5.1 O Gedelu

Sledece dve decenije ostali su koristili Principia Mathematica kao vodic za izgradnju matematike bez nelogicnosti i do vremena kada se Hilbert penzionisao 1930 godine, on se osecao sigurnim da je matematika bila na dobrom putu oporavka. Njegov san o konzistentnoj logici, dovoljno mocnoj da odgovori na svako pitanje, bio je navodno na putu da postane realnost.
Medutim, 1931 godine, jedan nepoznati dvadesetpetogodisnji matematicar objavljuje rad koji ce zauvek unistiti Hilbertove nade.
Kurt Gedel ce naterati matematicare da prihvate da matematika nikada ne moze biti logicki savrsena, a ono sto je sledilo iz njegovog rada bila je i ideja da problemi, kao sto je Fermaova poslednja teorema, mogu biti neresivi.
Kurt Gedel je roden 28. aprila 1906. godine u Moraviji, tada delu austrougarske monarhije, a sada delu Ceske republike. Od svojih najmladjih dana bio je ozbiljno bolestan; a najtezi period reumatske groznice imao je sa sest godina. Ovaj rani dodir smrti je prouzrokovao kod Gedela opsesivnu hipohondriju koja gaje pratila celog zivota. Sa osam godina, kada je procitao jednu medicinsku knjigu, postao je ubedjen da ima slabo srce, iako njegovi doktori nisu rnogli pronaci dokaze za tako nesto. Kasnije, kako se blizio kraju zivota verovao je da neko pokusava da ga otruje i odbijao je da jede, izgladnjujuci se skoro do srnrti.
Kao dete, Gedel je ispoljavao talenat za nauku i matematiku, a njegova radoznala priroda navelaje njegove roditelje da mu daju nadimak der Herr Warum (Gospodin Zasto). Pohadao je Univerzitet u Becu, nesiguran da li da specijalizuje matematiku ili fiziku, ali jedan inspirativan i uzbudljiv kurs predavanja iz teorije brojeva, koji je odrzao profesor P. Furtvengler, ubedio je Gedela da posveti zivot brojevima. Predavanja su tim pre bila neobicna zato sto je Furtvengler bio paralizovan od vrata nadole i morao je da drzi predavanja iz invalidskih kolica bez podsetnika, dok je njegov asistent pisao po tabli.
Negde do svojih ranih dvadesetih godina Gedel je obezbedio sebi mesto na matematickom odseku, ali je zajedno sa svojim kolegama povremeno odiazio na sastanke Wiener Kreis (Beckog kruga), grupe filozofa, koja bi se sastajala da diskutuje o najnovijim logickim pitanjima. Bilo je to tokom onog perioda kada je Gedel razvio ideje koje ce uzdrmati temelje matematike.
Godine 1931. Gedel je objaviosvoju knjigu Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme ('0 formaino neodlucivim pretpostavkama u Principia Mathematica i reliranim sistemima'), koja je sadrzala njegove takozvane teoreme o neodlucivosti. Kada su vesti o ovim teoremama dosle do Amerike, veliki matematicar Dzon fon Nojman je odmah prekinuo seriju predavanja koju je drzao na temu Hilbertovog programa i zamenio je ostatak kursa diskusijom o Gedelovom revolucionarnom radu.
Hilbertova vizija da formalizuje celu matematiku ispostavila se nemogucom.
Kurt Godel i A. M. Turing pokazali su da je nemoguce formalizovati celu Matematiku. Zasto? Zato sto je bilo koji formalni aksiomatski sistem ili nekonzistentan ili nepotpun. U slobodnoj interpretaciji, svojstvo nekonzistentnosti (protivurecnosti) znaci da sistem dokazuje netacne teoreme, a svojstvo nepotpunosti znaci da sistem ne dokazuje sve valjane teoreme.
Gedel je uz dosta maste pretpostavio da je Hilbert mozda pogresio. Krenuo od paradoksa lazova.
Kritski paradoks ili paradoks lazljivca.
Epimenid je Kricanin koji je izjavio:"Ja sam lazov".Paradoks se javlja kada pokusamo da utvrdimo da li je ova tvrdnja istinita ili lazna. Prvo, pogledajmo sta se desava kada pretpostavimo da je tvrdnja istinita. Istinita tvrdnja implicira da je Epimenid lazov, ali smo prethodno pretpostavili da je on rekao istinitu tvrdnju, pa stoga Epimenid ne moze biti lazov - imamo nekonzistentnost. S druge strane, pogledajmo sta se desava kada pretpostavimo da je tvrdnja neistinita. Neistinita tvrdnja implicira da Epimenid nije lazov, ali smo na pocetku pretpostavili da je rekao neistinitu tvrdnju te je stoga Epimenid lazov – imamo jos jednu nekonzistentnost. Bez obzira na to da li pretpostavljarno da je tvrdnja istinita ili ne, dolazimo do nekonzistentnosti, tako da tvrdnja nije ni istinita ni neistinita.
Ako je ovo tvrdjenje tacno, onda ovo tvrdjenje nije tacno (i obratno), pa ne moze biti ni tacno ni netacno, sto je nedopustivo u matematici.
Godel je predlozio da stvari postavimo na sledeci nacin. Razmatrajmo recenicu ,,ovo tvrdjenje nije dokazivo”. Podrazumeva se da je ta recenica formulisana u odredjenom formalnom aksiomatskom sistemu, sa odredjenim skupom aksioma, koristeci odredjeni skup pravila izvodjenja. To je kontekst ovog tvrdjenja.
Onda postoje dve mogucnosti. Ili je tvrdjenje teorema, tj. dokazivo je, ili nije dokazivo, tj. nije teorema.
Razmatrimo obe mogucnosti. Sta ako je Godelovo tvrdjenje dokazivo? To bi znacilo da je moguce dokazati netacna tvrdjenja sto je lose. Drugim recima ako je tvrdjenje dokazivo, onda je nas formalni aksiomatski sistem nekonzistentan, sadrzi netacne teoreme. Zato cemo pretpostaviti da se ovo ne desava. Dakle, ostaje mogucnost da je Godelovo tvrdjenje nije dokazivo. Ali ni ovo nije dobro, jer onda je to tacno tvrdjenje koje nije dokazivo, pa je formalni aksiomatski sistem nepotpun. U svakom slucaju postoji problem.
Primetimo i sledece: koja matematicka teorija govori o tome da li je tvrdjenje dokazivo ili ne? To je metamatematika, a ne matematika.
Drugo, kako je moguce da matematicko tvrdjenje referise na sebe tj. bude samoukazujuce? Godel je vrlo pametno ,,nabrajao” simbole, dobro zasnovane formule, aksiome i dokaze u formalno aksiomatskom sistemu. On izrazava vezu ,,x dokazuje y” aritmeticki .
Ako bi se pogledao Godelov originalni dokaz iz 1931. godine, primetili bismo da je Godel prakticno programirao u LISP-u iako toga nije bio svestan.

Na mnogo nacina Gedelov rad je tekao paraleino sa slicnim otkricima u kvantnoj fizici. Samo cetiri godine pre nego sto je Gedel objavio svoj rad o neodlucivosti, nemacki fizicar Verner Hajzenberg otkrio je princip neodredenosti. Bas kao sto je postojala izvesna granica do koje matematicke teoreme mogu nesto dokazati, Hajzenberg je pokazao da postoji fundamentaino ogranicenje u tome koje osobine fizicari mogu meriti. Na primer, ako zele da izmere tacnu poziciju nekog objekta, tada mogu izmeriti njegovu brzinu samo sa relativno malom tacnoscu. Da bi se izmerila pozicija objekta neophodno je osvetliti ga fotonima svetlosti, ali da bi precizno odredili lokaciju, fotoni svetlosti bi morali imati veoma veliku energiju. Medutim, ako se neki objekat bombarduje fotonima velike energije, to ce uticati na njegovu sopstvenu brzinu
i tako ta brzina postaje po prirodi stvari neizvesna. Zato, ako traze poznavanje pozicije objekta, fizicari moraju da odustanu od poznavanja tacne brzine objekta.
Hajzenbergov princip neodredenosti postaje relevantan na atomskim skalama, kada su visokoprecizna merenja kriticna. Zbog toga se najveci deo fizike ne mora osvrtati na njega, dok se kvantni fizicari moraju pozabaviti osnovnim pitanjima u vezi sa granicama samog saznanja.
Isto se desavalo u svetu matematike. Dok su se logicari bavili veoma ezotericnom debatom o neodlucivosti, ostatak matematickog sveta je nastavio ne osvrcuci se na to. I mada je Gedel dokazao da postoje tvrdnje koje se ne mogu dokazati, postojalo je mnogo tvrdnji koje mogu biti dokazane, pa njegov dokaz nije poremetio nista sto je bilo dokazano u proslosti.
Stavise, mnogi matematicari su verovali da se Gedelove teoreme odnose samo na najopskurnije.i najekstremnije oblasti matematike i da se zbog toga ne moraju njima baviti. Osim toga, Gedel je samo rekao da ove tvrdnje postoje; on, u stvari, nije mogao kazati koje su. Medutim, 1963. godine, Gedelov teoretski uzas postaje surova realnost.
Pol Koen, dvadesetdevetogodisnji matematicar sa Stanforda, razvio je tehniku za testiranje neodlucivosti odredjenog pitanja. Tehnika je radila samo u odredenim slucajevima, ali je bez obzira na to on bio prva osoba koja je otkrila specificna pitanja koja su zaista bila neodluciva. Posto je dosao do tog otkrica Koen je odmah odleteo za Prinston, sa dokazom u rukama, da bi ga verifikovao sam Gedel. Gedel, koji je ulazio u paranoicnu fazu svog zivota, odskrinuo mu je vrata, zgrabio papire i zaiupio vrata.
Posle dva dana Koen je dobio poziv za caj kod Gedela, sto je bio znak da je veliki matematicar potvrdio njegov dokaz. Ono sto je bilo narocito dramaticno bilo je to sto su neka od neodlucivih pitanja bila centralna za matematiku. Ironicno je to sto je Koen je dokazao da je jedno od pitanja koje je Dejvid Hilbert deklarisao medu dvadeset tri najvaznija problema u matematici, hipotezakontinuuma, bilo neodlucivo.
Gedelov rad, zajedno sa Koenovim neodlucivim tvrdnjama, poslao je poruku koja uznemirava svim onim matematicarima, profesionalcima i amaterima, koji su uporno pokusavali da rese Fermaovu poslednju teoremu - mozda je Fermaova poslednja teorema bila neodluciva! Sta ako je Pjer de Ferma nacinio gresku kada je tvrdio da je imao dokaz? Ako je to tacno, postojala je mogucnost da je Poslednja teorema bila neodluciva. Dokazivanje Fermaove poslednje teoreme moze biti vise nego tesko, moze biti nemoguce. Ako je Fermaova poslednja teorema bila neodluciva, tada su matematicari proveli vekove u trazenju dokaza koji ne postoji.
Zanimljivo je sledece: ako bi Fermaova poslednja teorema bila
neodluciva, onda bi to dovelo do zakljucka da je istinita. Razlog sledi. Poslednja teorema kaze da ne postoje celobrojna resenja za jednacinu
x" + y"- = 2" za n vece od 2.
Ako bi Poslednja teorema bila neistinita, onda bi to bilo moguce dokazati pronalazenjem resenja (jednog primera brojeva koji zadovoljavaju jednacinu). Prema tome, Poslednja teorema bi bila odiuciva. Znaci, neistinitost nije u konzistenciji sa neodlucivoscu.
Medutim, ako je Poslednja teorema tacna, ne bi neophodno morao i postojati takav nedvosmislen nacin za njen dokaz, tj. mogia bi biti neodluciva. U zakljucku, Fermaova poslednja teorema moze biti istinita, ali ne mora postojati nacin da se ona dokaze.

5.1 Kakve se bile posledice Godelove teoreme?

Hilbert i Godel se nikada nisu sreli i nikada nisu pricali o Hilbertovom programu. Obojica su bili na kongresu u Konigsbergu u septembru 1930. godine. Kada je Godel objavio rezultate svojih istrazivanja jedino je von Neumann uvideo veliki znacaj i genijalnost njegovih otkrica. Kad je shvaceno Godelovo dostignuce,reakcije se bile razne. Uglavnom sok i neverica.
Kako je to bilo moguce? Kakvu sigurnost sada matematika pruza? Ako nikada ne mozemo imati potpun skup aksioma, tada nikada necemo biti sigurni ni u sta. I ako pokusamo da dodamo nove aksiome nema garancija da cemo dobiti potpunost teorije.
Ono kljucno sto proizilazi iz Godelove teoreme jeste cinjenica da aksiomatska metoda formalnog zasnivanja, postavljena onako kako je postavljena, ima svoja ogranicenja, da ne pokriva potpuno matematicko rasudjivanje i metode dokazivanja teorema razvijane vekovima, koje se ne mogu smatrati ni neispravnim, ni nematematickim, ni nenaucnim.
Druga prakticna posledica Godelove teoreme odnosi se na racunare. Kako je njihova teorijska podloga formalna aritmetika, to je okvir problema dostupan racunaru daleko uzi u poredjenju sa okvirom dostupnom ljudskom mozgu. To je, bar za sada pozitivan rezultat, jer je covek jos uvek jaci od masine.
Hilbert je napravio gresku jer je podrzavao vestacki jezik za dokazivanje. To nije uspelo zbog nepotpunosti, jer je svaki formalni aksiomatski system ogranicene moci. Ali to nije slucaj sa vestackim jezikom za predstavljanje algoritama.
Cinjenica da skoro svaki kompjutersko programski jezik moze da podrzi sve postojece algoritme je veoma bitan oblik potpunosti! To je teorijska osnova za celo racunarstvo. Tako je formalizam trijumfovao ne u matematickom rasudjivanju, vec u racunarstvu. Matematicari i dalje koriste prirodni jezik za dokaz teorema, ali kada pisu racunarski program moraju da budu vrlo obazrivi.

Zakljucak

Krajem XIX veka Kantorova teorija skupova cinila se matematicarima kao pravi raj jer se pomocu skupova moglo izraziti sve, i brojevi, i geometrijski pojmovi, I pojmovi slozenijih apstraktnih matematickih struktura. Ali, nazalost, u naivnoj teoriji skupova iskrsavaju paradoksi i u traganju za spasonosnim resenjem nastaju razni matematicki pravci, a u onom glavnom | formalizmu | osnovna ideja je spasiti aksiomatsku metodu, precistiti je i postroziti tako da se izbegnu
uocene slabosti. Tako se doslo do pojma formalne teorije, kjucnog pojma u modernom strogom aksiomatskom zasnivanju matematickih istina. Najvazniji korak u modernom preciscavanju aksiomatske metode i kristalisanju pojmova aksioma, teoreme, dokaz, nacinio je Hilbert, koji je uveo pojam formalne teorije i ilustrovao strogo formalno zasnivanje matematicke teorije na
primeru euklidske geometrije. Novo u formalnoj teoriji u odnosu na klasican pojam aksiomatske teorije jeste preciziranje jezika, sintakse, kao i pojma dokaza odakle sledi prociscenje pojma teoreme. Radi preciziranja glavnih aksiomatskih pojmova, Hilbert uvodi pojam pravila izvodjenja.
Upravo je taj pojam nedostajao da bi se aksiomatsko zasnivanje strogo definisalo i to u okviru formalne teorije. Glavni cilj u tome je dobiti formalnu teoriju koja je neprotivurecna i potpuna.
Kljucna Hilbertova teznja pri definiciji formalnih teorija bio je i finitizam, mada to nikada nije do kraja precizirano. Poimalo se intuitivno, da su relacije I operacije konacnih duzina, formule konacni nizovi znakova, pravila su konacne relacije, dokazi konacni nizovi formula i sl. Dalje, za metateoriju se podrazumevao finitizam, a svi ti zahtevi su predstavljali glavnu prepreku u dokazivanju apsolutne neprotivurecnosti i potpunosti formalne teorije. Oko ovih problema vrtela su se kjucna matematicka istrazivanja u prve tri decenije XX veka. I iskreno se ocekivalo da je pitanje dana kada ce problemi biti reseni, naravno pozitivno. Zato je s nevericom prihvacena Godelova teorema,kojom se dokazuje da je formalna aritmetika, uprkos ocekivanjima, nepotpuna.
I jos jace, ona je esencijalno nepotpuna, sto znaci da se nikako ne moze dopuniti do potpune teorije. Godelov rezultat zatvorio je krug krize. Hilbertov pokusaj da formalizuje celu matematiku je propao, ali je za posledicu imao neverovatne rezultate koji prevazilazi matematicke okvire. Uticaj Godelovih rezultata na racunarstvo,filosoju, estetiku, umetnost i dalje je neizmeran. Njegov dokaz uzdrmao je milenijumske teznje i nade o saznanju i istini, i te nade jednim delom, pokopao.
Jer Godelovo rasudjivanje primenjivano je i na druge discipline, sa zakljuckom da se istina unutar nekog zatvorenog sistema ne moze izvesti.

Literatura

[1] http://www.umcs.maine.edu/~chaitin/unknowable/ch1.html
[2] http://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/
[3] http://sakharov.net/foundation.html
[4] http://www.hf.uio.no/_loso_/njpl/read.html
[5] http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/georgia.html
[6] Poslednja Fermaova teorema Sajmon S.

PROČITAJ / PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:

preuzmi seminarski rad u wordu » » »

Besplatni Seminarski Radovi